ÜSLÜ SAYILAR

Örnek

2 x 2 x 2 = 23,

3 x 3 x 3 x 3 = 34,

a x a x a = a3,

a x a x a x a = a4 gibi yazılabilirler.

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k . an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

1. a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.

2. 00 tanımsızdır.

3. n Î IR ise, 1n = 1 dir.

4.

5. (am)n = (an)m = am . n

6.

7.

8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

9. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

10. n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.

b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.

c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi

a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11.

12.

C. ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA

1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,

Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.

Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.

D. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1. x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an

2. am . an = am + n

3. am . bm = (a . b)m

4.

5.

E. ÜSLÜ DENKLEMLER

1. a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir.

2. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir.

3. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = y veya x = – y dir.

4.

 

KÖKLÜ SAYILAR VE GERÇEK SAYILAR

Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.

Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.

a² = 2 ise a sayısını a = Ö2 şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu Ö2

sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:

1² =1 1=1

(1,5)² = 1,5 1,5=2.25 tir

O halde Ö2 sayısı;1< Ö2 <1,5

Buna göre Ö2 sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.

İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan Ö2, Ö5 , p ,… gibi sayılarairrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.

İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir.

R=Q U I Q ∩ I =O

N Z Q R I R

R⁺=Pozitif reel sayılar

R^-=Negatif reel sayılar

R= R^- U {0} U R⁺ 

Sayı örüntüleri

Leonardo Fibonacci

Bu konuya girmeden önce, önemli bir örüntünün sahibi olan İtalya doğumlu Leonardo Fibonacci’den bahsetmek gerekir.Fibonacci 13. yüzyılda yaşamıştır.

Leonardi Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 …. şeklinde giden bir diziliş bulmuştur. Bu dizilişe Fibonacci sayı dizilişi adı verilir.

fibonacci sayı dizisinin terimleri nasıl elde edilir ?

Bu dizilişin kuralı şudur: 1. ve 2. sayı toplandığında 3. sayı elde edilir.

2. ve 3. sayı toplandığında 4. sayı elde edilir.

4. ve 5. sayı toplandığında 6. sayı elde edilir ve bu şekilde devam eder gider.

Bu önemli bir diziliştir ve doğada bile karşımıza çıkar. Zaten bu yüzden Fibonacci sayı dizisi önem kazanmıştır.

Örneğin çam kozalaklarının en uçtan arkaya doğru dizilişi bu şekildedir.

Bir kozalak bulun ve toplamlara bir gözatın.

Fibonacci sayıları PASCAL ÜÇGENİ’^nde de karşımıza çıkar.

Peki PASCAL ÜÇGENİ nedir ?

Blaise PASCAL M.S 13. yüzyılda yaşamış fransız bir Matematikçidir ve kendi Soyadı ile anılan sayı dizisi vardır.

Daha doğrusu buna üçgen demek daha doğru olur.

PASCAL, üçgen ile sayılar arasındaki ilişkiyi tam 1653 sayfalık bir kitapta toplamıştır.

PASCAL, üçgeni oluştururken şunları yapmıştır.

1) En üste 1 yazmış.

2) Bir altına da 2 tane 1 yazmış.

3) Bundan sonra ise üstteki sayıları toplayıp bir aşağı yazmıştır. ( Yine en başa ve en sona 1 sayısını koymuştur. )

4) Şekle baktığımızda ise bir üçgen şekli oluşmuştur.

PASCAL üçgeninin ne işe yaradığını ise ileride Özdeşlikler konusunda göreceğiz.

Yukarıda anlattığımız PASCAL üçgeni için aşağıdaki şekli inceleyin.

En üstteki 0. satır olarak kabul edilir. Sonra 1. satır, 2. satır, 3. satır olarak devam eder gider.

Ok işaretleri ise üstteki sayıların toplanıp alttakini verdiğini göstermektedir.

Size Fibonacci dizisi ile PASCAL üçgeninin ilişkisini gösterelim.

Yukarıdaki gibi PASCAL üçgenindeki sayıları çapraz toplarsanız 1,2,3,5,8 … sayılarını elde ederiz